Outil de Conversion de Base

La conversion de base est l'arithmétique en notation positionnelle. Un chiffre d à la position p en base b contribue d × bᵖ à la valeur totale, et la valeur d'un nombre à N chiffres est Σᵢ₌₀..N₋₁ dᵢ × b^(N-1-i). Le système décimal est en base 10, le binaire en base 2, l'octal en base 8, l'hexadécimal en base 16. Deux algorithmes font tout le travail : pour convertir de la base b₁ à la base 10, on évalue le polynôme (la méthode de Horner est la forme standard en place : `value = value * b₁ + digit`) ; pour convertir de la base 10 à la base b₂, on divise successivement par b₂ et on collecte les restes, puis on les inverse. Les deux algorithmes sont en O(N) par chiffre et en O(1) en espace supplémentaire, et fonctionnent pour toute base de 2 à 36 (chiffres '0'-'9' + 'A'-'Z' comme 10-35). La plupart des conversions de base en pratique ignorent l'étape décimale intermédiaire et passent directement entre des bases qui sont des puissances de deux. Binaire ↔ octal regroupe 3 chiffres binaires par chiffre octal (car 2³ = 8), et binaire ↔ hexadécimal regroupe 4 chiffres binaires par chiffre hexadécimal (2⁴ = 16). C'est pourquoi 0xFF = 11111111₂, 0755 (octal, le mode de fichier Unix) = 111101101₂ = 493 en décimal. La page gère aussi la base 32 (RFC 4648 §6, utilisée dans certains jetons d'authentification) et la base 36 (l'alphabet traditionnel compact de raccourcissement d'URL « 0 »-« 9 » + « A »-« Z »), où la conversion via le binaire est la seule approche sensée puisque 36 n'est pas une puissance de 2. Cette page utilise les fonctions natives de JavaScript : parseInt(value, base) pour l'analyse et (123).toString(base) pour la sortie. Toutes deux sont limitées par la précision de Number : un IEEE 754 binaire64 a une mantisse de 53 bits, donc les valeurs entières supérieures à 2⁵³ - 1 = 9 007 199 254 740 991 perdent en précision. Par exemple, Number.MAX_SAFE_INTEGER + 1 est égal à Number.MAX_SAFE_INTEGER + 2 — ces deux grandes valeurs ne sont pas représentables. Pour la conversion de base d'entiers à précision arbitraire, BigInt est la voie moderne : la logique de type parseInt en BigInt est simple, et BigInt.prototype.toString(base) gère toute base de 2 à 36. Les bibliothèques cryptographiques, les générateurs d'UUID et les calculs sur les grands nombres (portefeuilles HD BIP-32, clés RSA) utilisent tous BigInt pour cette raison. Le même algorithme gère aussi les nombres signés et à virgule flottante, avec des réserves. En complément à deux (la représentation signée dominante pour les entiers à largeur fixe, depuis la conception de l'IBM System/360 en 1965 jusqu'à tous les processeurs modernes), -1 est composé uniquement de uns (0xFFFFFFFF pour 32 bits, 0xFFFFFFFFFFFFFFFF pour 64), et le bit le plus élevé est le bit de signe. Pour convertir un entier négatif en complément à deux en décimal, on soustrait 2ⁿ (où n est la largeur en bits). Pour les nombres à virgule flottante, l'IEEE 754 binaire64 stocke le signe (1 bit), l'exposant (11 bits, avec un biais de 1023) et la mantisse (52 bits, avec un 1 implicite en tête). La conversion décimale d'un binaire64 arbitraire n'est donc pas exacte — 0,1 en IEEE 754 est 0,1000000000000000055511151231257827021181583404541015625, ce qui explique pourquoi le code financier utilise des centimes entiers ou des bibliothèques décimales plutôt que les flottants.

• Notation positionnelle : un chiffre d à la position p en base b contribue d × bᵖ. La valeur complète d'un nombre à N chiffres est Σᵢ dᵢ × b^(N-1-i). La méthode de Horner évalue ceci en O(N) en temps et O(1) en espace : `value = value * b + digit`.
• Pour convertir du décimal à la base b, on divise successivement par b et on collecte les restes ; les lire en ordre inverse donne la représentation cible. L'algorithme est en O(N) pour une sortie à N chiffres.
• Conversion directe binaire ↔ hexadécimal : chaque chiffre hexadécimal correspond exactement à 4 chiffres binaires, donc 0xFF = 11111111₂. Binaire ↔ octal : chaque chiffre octal correspond à 3 chiffres binaires, donc 0755 = 111101101₂.
• Complément à deux (utilisé par tous les processeurs modernes pour les entiers signés) : le bit de poids fort est le signe, et les nombres négatifs sont codés comme 2ⁿ - |x|. -1 en complément à deux sur 32 bits est 0xFFFFFFFF.
• IEEE 754 binaire64 (Number en JavaScript) : 1 bit de signe + exposant biaisé sur 11 bits (biais 1023) + mantisse sur 52 bits avec un 1 implicite en tête. L'entier sûr maximum est 2⁵³ - 1 = 9 007 199 254 740 991 ; au-delà, la précision se perd.
• parseInt(value, base) et Number.prototype.toString(base) fonctionnent pour les bases 2-36 et utilisent la mantisse de 53 bits de Number. Pour une précision arbitraire, utilisez BigInt('value', base) et BigInt.prototype.toString(base).
• La base 32 (RFC 4648 §6) et la base 36 ('0'-'9' + 'A'-'Z') nécessitent le binaire comme étape intermédiaire car 32 et 36 ne sont pas des puissances de 2 — un chiffre ne correspond pas à un nombre fixe de bits.
• Cas limite : la division entière avec reste pour les bases négatives ou les nombres négatifs en complément à deux nécessite une gestion du signe ; la page traite l'entrée comme une valeur absolue non signée et réapplique le signe au résultat final.