Инструмент преобразования систем счисления

Конвертация систем счисления — это арифметика позиционной записи. Цифра d на позиции p в основании b вносит вклад d × b^p в общее значение, а значение N-значного числа равно Σᵢ₌₀..N₋₁ dᵢ × b^(N-1-i). Десятичная система имеет основание 10, двоичная — основание 2, восьмеричная — основание 8, шестнадцатеричная — основание 16. Всю работу выполняют два алгоритма: для перевода из основания b₁ в десятичную систему вычисляется полином (метод Горнера — стандартная ин-плейс форма: `value = value * b₁ + digit`); для перевода из десятичной системы в основание b₂ выполняется последовательное деление на b₂ сбором остатков, затем они записываются в обратном порядке. Оба алгоритма работают за O(N) на цифру и O(1) по дополнительной памяти и подходят для любого основания от 2 до 36 (цифры '0'-'9' + 'A'-'Z' как 10-35). Большинство практических задач конвертации пропускают промежуточный десятичный шаг и переходят напрямую между основаниями, являющимися степенями двойки. Двоичная ↔ восьмеричная группирует 3 двоичных цифры на одну восьмеричную (поскольку 2³ = 8), а двоичная ↔ шестнадцатеричная группирует 4 двоичных цифры на одну шестнадцатеричную (2⁴ = 16). Поэтому 0xFF = 11111111₂, а 0755 (восьмеричная, Unix-права файла) = 111101101₂ = 493 десятичных. Страница также обрабатывает основание 32 (RFC 4648 §6, используется в некоторых токенах аутентификации) и основание 36 (традиционный компактный алфавит для сокращения URL '0'-'9' + 'A'-'Z'), где перевод через двоичную систему — единственный разумный способ, поскольку 36 не является степенью двойки. Данная страница использует встроенную функцию JavaScript parseInt(value, base) для парсинга и (123).toString(base) для вывода. Обе ограничены точностью Number: IEEE 754 binary64 имеет 53-битную мантиссу, поэтому целые значения больше 2⁵³ - 1 = 9 007 199 254 740 991 теряют точность. Например, Number.MAX_SAFE_INTEGER + 1 равно Number.MAX_SAFE_INTEGER + 2 — два больших значения не представимы. Для конвертации целых чисел произвольной точности BigInt — современное решение: логика parseInt на BigInt несложна, а BigInt.prototype.toString(base) обрабатывает любое основание от 2 до 36. Криптографические библиотеки, генераторы UUID и математика больших чисел (BIP-32 HD-кошельки, ключи RSA) используют BigInt по этой причине. Тот же алгоритм обрабатывает знаковые числа и числа с плавающей точкой, с некоторыми оговорками. В дополнительном коде (доминирующее знаковое представление для целых чисел фиксированной ширины, начиная с IBM System/360 1965 года и во всех современных процессорах) -1 — это все единицы (0xFFFFFFFF для 32 бит, 0xFFFFFFFFFFFFFFFF для 64), а старший бит — знаковый. Для перевода отрицательного целого числа в дополнительном коде в десятичную систему нужно вычесть 2^n (где n — битовая ширина). Для чисел с плавающей точкой IEEE 754 binary64 хранит знак (1 бит), экспоненту (11 бит, со смещением 1023) и мантиссу (52 бита с неявным ведущим 1). Десятичное преобразование произвольного binary64 поэтому не является точным — 0,1 в IEEE 754 равно 0,1000000000000000055511151231257827021181583404541015625, поэтому финансовый код использует целые центы или десятичные библиотеки вместо float.

• Позиционная запись: цифра d на позиции p в основании b вносит вклад d × b^p. Полное значение N-значного числа равно Σᵢ dᵢ × b^(N-1-i). Метод Горнера вычисляет это за O(N) времени и O(1) памяти: `value = value * b + digit`.
• Для перевода из десятичной системы в основание b выполняется последовательное деление на b сбором остатков; чтение их в обратном порядке даёт целевое представление. Алгоритм работает за O(N) для N-значного результата.
• Прямая конвертация двоичная ↔ шестнадцатеричная: каждая hex-цифра — это ровно 4 двоичных цифры, поэтому 0xFF = 11111111₂. Двоичная ↔ восьмеричная: каждая восьмеричная цифра — 3 двоичных, поэтому 0755 = 111101101₂.
• Дополнительный код (используется всеми современными процессорами для знаковых целых чисел): старший бит — знаковый, а отрицательные числа кодируются как 2^n - |x|. -1 в 32-битном дополнительном коде — это 0xFFFFFFFF.
• IEEE 754 binary64 (Number в JavaScript): 1 знаковый бит + 11-битная экспонента со смещением (смещение 1023) + 52-битная мантисса с неявным ведущим 1. Максимальное безопасное целое — 2⁵³ - 1 = 9 007 199 254 740 991; значения выше теряют точность.
• parseInt(value, base) и Number.prototype.toString(base) работают для оснований 2-36 и используют 53-битную мантиссу Number. Для произвольной точности используйте BigInt('value', base) и BigInt.prototype.toString(base).
• Основание 32 (RFC 4648 §6) и основание 36 ('0'-'9' + 'A'-'Z') требуют двоичную систему как промежуточный шаг, поскольку 32 и 36 не являются степенями двойки — цифра не соответствует фиксированному числу битов.
• Граничный случай: целочисленное деление с остатком для отрицательных оснований или отрицательных чисел в дополнительном коде требует обработки знака; страница обрабатывает ввод как беззнаковое абсолютное значение и повторно применяет знак к конечному результату.