진법 변환 도구

진법 변환은 위치 표기법 연산입니다. 진법 b의 위치 p에 있는 숫자 d는 총값에 d x bᵖ를 기여하며, N자리 수의 값은 Σᵢ₌₀..N₋₁ dᵢ x b^(N-1-i)입니다. 10진법은 진법 10, 2진법은 진법 2, 8진법은 진법 8, 16진법은 진법 16입니다. 두 가지 알고리즘이 모든 작업을 수행합니다: 진법 b₁에서 10진법으로 변환하려면 다항식을 평가합니다(Horner 방법이 표준적인 인플레이스 형태입니다: `value = value * b₁ + digit`). 10진법에서 진법 b₂로 변환하려면 b₂로 반복 나눗셈한 뒤 나머지를 모아서 역순으로 읽습니다. 두 알고리즘 모두 자릿수당 O(N), 추가 공간은 O(1)이며, 2부터 36까지의 모든 진법에서 작동합니다(숫자 '0'-'9' + 'A'-'Z'가 10-35를 나타냄). 대부분의 실용적인 진법 변환 작업은 중간 10진 단계를 건너뛰고 2의 거듭제곱인 진법 간에 직접 변환합니다. 2진법 ↔ 8진법은 8진수 한 자리당 2진수 3자리를 그룹화하고(2³ = 8이므로), 2진법 ↔ 16진법은 16진수 한 자리당 2진수 4자리를 그룹화합니다(2⁴ = 16이므로). 이것이 0xFF = 11111111₂이고, 0755(8진법, Unix 파일 권한) = 111101101₂ = 10진법 493인 이유입니다. 이 페이지는 Base 32(RFC 4648 §6, 일부 인증 토큰에서 사용)와 Base 36(전통적인 간결한 URL 단축기 알파벳 '0'-'9' + 'A'-'Z')도 처리합니다. 36은 2의 거듭제곱이 아니므로 2진으로의 변환이 유일한 합리적인 방법입니다. 이 페이지는 JavaScript의 내장 parseInt(value, base)를 파싱에, (123).toString(base)를 출력에 사용합니다. 둘 다 Number 정밀도에 제한됩니다: IEEE 754 binary64는 53비트 가수를 가지므로 2⁵³ - 1 = 9,007,199,254,740,991보다 큰 정수 값은 정밀도를 잃습니다. 예를 들어 Number.MAX_SAFE_INTEGER + 1은 Number.MAX_SAFE_INTEGER + 2와 같습니다 — 두 큰 값은 표현할 수 없습니다. 임의 정밀도 정수 진법 변환을 위해 BigInt가 현대적인 방법입니다: BigInt에서 parseInt 스타일 로직은 간단하며, BigInt.prototype.toString(base)는 2부터 36까지의 모든 진법을 처리합니다. 암호화 라이브러리, UUID 생성기, 큰 수 연산(BIP-32 HD 지갑, RSA 키)은 모두 이 이유로 BigInt를 사용합니다. 동일한 알고리즘은 부호 있는 수와 부동소수점도 처리하지만 주의사항이 있습니다. 2의 보수(1965년 IBM System/360 설계부터 모든 현대 CPU에 이르기까지 고정 너비 정수의 주요 부호 있는 표현)에서 -1은 전부 1이며(32비트는 0xFFFFFFFF, 64비트는 0xFFFFFFFFFFFFFFFF), 최상위 비트가 부호 비트입니다. 부호 있는 2의 보수 정수를 10진법으로 변환하려면 2ⁿ(n은 비트 너비)을 뺍니다. 부동소수점의 경우, IEEE 754 binary64는 부호(1비트), 지수(11비트, 바이어스 1023), 가수(52비트, 암묵적 선행 1 포함)를 저장합니다. 따라서 임의의 binary64의 10진 변환은 정확하지 않습니다 — IEEE 754에서 0.1은 0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625이며, 이것이 바로 금융 코드가 float 대신 정수 센트 또는 10진 라이브러리를 사용하는 이유입니다.

• 위치 표기법: 진법 b의 위치 p에 있는 숫자 d는 d x bᵖ를 기여합니다. N자리 수의 전체 값은 Σᵢ dᵢ x b^(N-1-i)입니다. Horner 방법은 O(N) 시간과 O(1) 공간으로 이를 평가합니다: `value = value * b + digit`.
• 10진법에서 진법 b로 변환하려면 b로 반복 나눗셈하고 나머지를 모읍니다; 역순으로 읽으면 목표 표현이 됩니다. N자리 출력에 대해 O(N) 알고리즘입니다.
• 직접 2진법 ↔ 16진법 변환: 16진수 한 자리는 정확히 2진수 4자리이므로 0xFF = 11111111₂. 2진법 ↔ 8진법: 8진수 한 자리는 2진수 3자리이므로 0755 = 111101101₂.
• 2의 보수(모든 현대 CPU가 부호 있는 정수에 사용): 상위 비트가 부호이며, 음수는 2ⁿ - |x|로 인코딩됩니다. 32비트 2의 보수에서 -1은 0xFFFFFFFF입니다.
• IEEE 754 binary64(JavaScript Number): 1비트 부호 + 11비트 바이어스 지수(바이어스 1023) + 암묵적 선행 1이 포함된 52비트 가수. 최대 안전 정수는 2⁵³ - 1 = 9,007,199,254,740,991이며, 이보다 큰 값은 정밀도를 잃습니다.
• parseInt(value, base)와 Number.prototype.toString(base)는 진법 2-36에서 작동하며 53비트 Number 가수를 사용합니다. 임의 정밀도를 위해 BigInt('value', base)와 BigInt.prototype.toString(base)를 사용하세요.
• Base 32(RFC 4648 §6)와 Base 36('0'-'9' + 'A'-'Z')은 32와 36이 2의 거듭제곱이 아니므로 중간 단계로 2진법이 필요합니다 — 한 숫자가 고정된 비트 수에 대응하지 않습니다.
• 엣지 케이스: 음수 진법 또는 2의 보수에서 음수에 대한 나머지가 있는 정수 나눗셈은 부호 처리가 필요합니다. 이 페이지는 입력을 부호 없는 절대값으로 처리하고 최종 결과에 부호를 다시 적용합니다.