Basiskonvertierungstool

Basisumrechnung ist Stellenwertarithmetik. Eine Ziffer d an der Stelle p in der Basis b trägt d x b^p zum Gesamtwert bei, und der Wert einer N-stelligen Zahl ist Summe(i=0..N-1) d_i x b^(N-1-i). Das Dezimalsystem hat die Basis 10, Binär die Basis 2, Oktal die Basis 8, Hexadezimal die Basis 16. Zwei Algorithmen erledigen die gesamte Arbeit: Um von Basis b1 in Basis 10 zu konvertieren, wird das Polynom ausgewertet (Horners Methode ist die Standard-Form: `wert = wert * b1 + ziffer`); um von Basis 10 in Basis b2 zu konvertieren, wird wiederholt durch b2 dividiert und die Reste gesammelt, dann umgekehrt. Beide Algorithmen sind O(N) pro Ziffer und O(1) an zusätzlichem Speicher und funktionieren für jede Basis von 2 bis 36 (Ziffern '0'–'9' + 'A'–'Z' als 10–35). Die meisten praktischen Basisumrechnungen überspringen den intermediären Dezimalschritt und gehen direkt zwischen Basen, die Zweierpotenzen sind. Binär ↔ Oktal gruppiert 3 Binärziffern pro Oktalziffer (da 2^3 = 8), und Binär ↔ Hex gruppiert 4 Binärziffern pro Hexziffer (2^4 = 16). Deshalb gilt 0xFF = 11111111_2, 0755 (oktal, der Unix-Dateimodus) = 111101101_2 = 493 dezimal. Die Seite behandelt auch Basis 32 (RFC 4648 §6, verwendet in manchen Authentifizierungstokens) und Basis 36 (das traditionelle kompakte URL-Verkürzer-Alphabet '0'–'9' + 'A'–'Z'), wobei die Umrechnung in Binär der einzig sinnvolle Weg ist, da 36 keine Zweierpotenz ist. Diese Seite verwendet JavasScript's eingebautes parseInt(wert, basis) zum Parsen und (123).toString(basis) für die Ausgabe. Beide sind auf Number-Genauigkeit beschränkt: Eine IEEE-754-binary64 hat eine 53-Bit-Mantisse, sodass Ganzzahlwerte größer als 2^53 - 1 = 9.007.199.254.740.991 an Genauigkeit verlieren. Zum Beispiel ist Number.MAX_SAFE_INTEGER + 1 gleich Number.MAX_SAFE_INTEGER + 2 — die beiden großen Werte sind nicht darstellbar. Für Ganzzahl-Basisumrechnung mit beliebiger Genauigkeit ist BigInt der moderne Weg: parseInt-Logik in BigInt ist unkompliziert, und BigInt.prototype.toString(basis) behandelt jede Basis von 2 bis 36. Kryptobibliotheken, UUID-Generatoren und Großzahlarithmetik (BIP-32-HD-Wallets, RSA-Schlüssel) verwenden alle BigInt aus diesem Grund. Derselbe Algorithmus behandelt auch vorzeichenbehaftete Zahlen und Gleitkommazahlen, mit Einschränkungen. Im Zweierkomplement (die vorherrschende vorzeichenbehaftete Darstellung für Festbreitenganzzahlen, vom IBM-System/360-Design 1965 bis zu jeder modernen CPU) ist -1 alles Einsen (0xFFFFFFFF für 32 Bit, 0xFFFFFFFFFFFFFFFF für 64), und das höchstwertige Bit ist das Vorzeichenbit. Um eine negative Zweierkomplement-Ganzzahl in Dezimal zu konvertieren, wird 2^n subtrahiert (wobei n die Bitbreite ist). Für Gleitkommazahlen speichert IEEE 754 binary64 Vorzeichen (1 Bit), Exponent (11 Bit, mit Bias 1023) und Mantisse (52 Bit, mit impliziter führender 1). Die Dezimalumrechnung einer beliebigen binary64 ist daher nicht exakt — 0,1 in IEEE 754 ist 0,1000000000000000055511151231257827021181583404541015625, weshalb Finanzcode ganze Cent-Beträge oder Dezimalbibliotheken statt Float verwendet.

• Stellenwertdarstellung: Eine Ziffer d an der Stelle p in der Basis b trägt d x b^p bei. Der Gesamtwert einer N-stelligen Zahl ist Summe(i) d_i x b^(N-1-i). Horners Methode wertet dies in O(N) Zeit und O(1) Speicher aus: `wert = wert * b + ziffer`.
• Um von Dezimal in Basis b zu konvertieren, wird wiederholt durch b dividiert und die Reste gesammelt; das umgekehrte Lesen ergibt die Zieldarstellung. Der Algorithmus ist O(N) für eine N-stellige Ausgabe.
• Direkte Binär ↔ Hex-Umrechnung: Jede Hexziffer entspricht genau 4 Binärziffern, also 0xFF = 11111111_2. Binär ↔ Oktal: Jede Oktalziffer entspricht 3 Binärziffern, also 0755 = 111101101_2.
• Zweierkomplement (verwendet von jeder modernen CPU für vorzeichenbehaftete Ganzzahlen): Das höchstwertige Bit ist das Vorzeichen, und negative Zahlen werden als 2^n - |x| kodiert. -1 im 32-Bit-Zweierkomplement ist 0xFFFFFFFF.
• IEEE 754 binary64 (JavaScript Number): 1 Vorzeichenbit + 11-Bit-Exponent mit Bias (Bias 1023) + 52-Bit-Mantisse mit impliziter führender 1. Maximale sichere Ganzzahl ist 2^53 - 1 = 9.007.199.254.740.991; darüber liegende Werte verlieren Genauigkeit.
• parseInt(wert, basis) und Number.prototype.toString(basis) funktionieren für Basen 2–36 und verwenden die 53-Bit-Number-Mantisse. Für beliebige Genauigkeit verwenden Sie BigInt('wert', basis) und BigInt.prototype.toString(basis).
• Basis 32 (RFC 4648 §6) und Basis 36 ('0'–'9' + 'A'–'Z') benötigen Binär als Zwischenschritt, da 32 und 36 keine Zweierpotenzen sind — eine Ziffer entspricht nicht einer festen Anzahl von Bits.
• Sonderfall: Ganzzahldivision mit Rest für negative Basen oder negative Zahlen im Zweierkomplement erfordert Vorzeichenbehandlung; die Seite behandelt die Eingabe als vorzeichenlosen Absolutwert und wendet das Vorzeichen auf das Endergebnis erneut an.